Answer

问题及解答

求 Heisenberg 群的中心

Posted by haifeng on 2012-03-24 23:44:18 last update 2014-02-21 10:37:55 | Edit | Answers (1)

Heisenberg group 的中心

\[C(H^3)=\{a | ab=ba,\ \forall b\in H^3\}\]

$H^3$ 中的元素形如

\[\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{pmatrix}\]

其中 $a,b,c\in\mathbb{R}$.


$\mathbb{H}^3$ 模去它的中心得到商群 $\mathbb{H}^3/C(\mathbb{H}^3)$, 从而定义了 $\mathbb{H}^3$ 在底空间 $\mathbb{H}^3/C(\mathbb{H}^3)\cong\mathbb{R}^2$ 上的一个Riemannian fibration (参见\cite[Chapter 1]{Ber-Gau-Maz}). 子丛 $E$ 从而由该 fibration 的水平子丛所构成, 其与 1-形式 $dz-xdy$ 的核一致.

 


References

http://en.wikipedia.org/wiki/Heisenberg_group

@book{Ber-Gau-Maz,
AUTHOR = "M.~Berger, P.~Gauduchon, E.~Mazet",
TITLE = "Le Spectre d\'une Vari\\'{e}t\\'{e} Riemannienne",
PUBLISHER = "Springer",
YEAR = "1971",
volume = "194",
series = "Lecture Notes",
address = "",
edition = "",
month = "",
note = ""
}

1

Posted by haifeng on 2012-03-24 23:50:35

\[\begin{pmatrix}1&x&z\\0&1&y\\0&0&1\end{pmatrix}\in C(H^3),\]

容易计算得 $x=y=0$.