问题及解答

假设 $u$ 是 $B_1\subset\mathbb{R}^n$ 中的调和函数. 即

\[\Delta u=0\quad\text{in}\ B_1\]

对于 $r\in (0,1)$, 定义

\[D(r)=\int_{B_r}|\nabla u|^2,\]

\[H(r)=\int_{\partial B_r}u^2,\]

令

\[N(r)=\frac{rD(r)}{H(r)}\]

这里的 $N(r)$ 就称为 $u$ 在 $B_r$ 内点的频率(frequency). 证明 $D(r)$ 可以写成一个曲面积分. 即有

\[D(r)=\frac{1}{2}\int_{B_r}\Delta u^2=\int_{\partial B_r}u u_n,\]

其中 $u_n$ 是 $u$ 关于法向的方向导数 $\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}$.

References:

Qing Han(韩青), Nodal sets of solutions of elliptic differential equations.

首先, 由于 $u$ 是调和函数, 故可推出 $\Delta u^2=2|\nabla u|^2$. 事实上,

\[\begin{split}\Delta u^2&=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}(u^2)=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial}{\partial x_i}(2u\cdot\frac{\partial u}{\partial x_i})=\sum_{i=1}^{n}\Bigl[2(\frac{\partial u}{\partial x_i})^2+2u\frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2}\Bigr]\\ &=2|\nabla u|^2+2u\Delta u=2|\nabla u|^2.\end{split}\]