问题及解答

先不妨猜测一下, $e^\pi > \pi^e$, 因为直觉告诉我们指数部分大一点可能比较管用.

$e^\pi > \pi^e=e^{e\ln\pi}$ 当且仅当 $\pi > e\ln\pi$. 这等价于

\[\frac{\ln\pi}{\pi} <\frac{1}{e}=\frac{\ln e}{e},\]

考虑函数 $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ (当然考虑函数 $f(x)=x^{x^{-1}}$ 也是可以的),

\[f\'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2},\]

所以 $f\' > 0$ 当且仅当 $0 < x < e$. 由于 $\pi > e$, 所以 $\frac{\ln\pi}{\pi} <\frac{1}{e}$ 成立. 得证.

Remark: 使用 Matlab 计算近似值,

>> realpow(2.71828,3.1415926)

ans =

   23.1406

>> realpow(3.1415926,2.71828)

ans =

   22.4591