问题及解答

考虑$\mathbb{R}^3$中一个有界闭区域 $V_0$, 在这个区域中分布着一种密度为$\rho$的流体($\rho$看成一个四元函数, $\rho:V_0\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, $(x,y,z,t)\mapsto\rho(x,y,z,t)$), 则该流体的质量为

\[\int_{V_0}\rho dV.\]

该流体在单位时间内通过 $\partial V_0$ 中面积元 $d\vec{S}$ 的流量为 $\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}$. $d\vec{S}=\vec{n}dS$, $\vec{n}$ 为曲面$\partial V_0$ 的外法向量场, 也即这里我们取曲面 $\partial V_0$ 的侧为外侧, 故 $\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}$ 为正当且仅当流体是从 $V_0$ 流到外面的. 因此单位时间内流出区域 $V_0$ 的流体质量(实际上这也是在时刻$t$的质量变化率)为

\[\oint_{\partial V_0}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}.\]

但是区域 $V_0$ 中流体的质量时刻在变, 因此考虑在时刻 $t$ 的质量变化率, 由于流体流出区域, 故变化率为

\[-\frac{\partial}{\partial t}\int_{V_0}\rho dV,\]

因此, 我们有

\[-\frac{\partial}{\partial t}\int_{V_0}\rho dV=\oint_{\partial V_0}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}\]

由Gauss公式, 右边的第二型曲面积分可以化为区域 $V_0$ 上的三重积分:

\[\oint_{\partial V_0}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}=\int_{V_0}\mathrm{div}(\rho\vec{v})dV,\]

故有

\[\int_{V_0}\Big[\frac{\partial\rho}{\partial t}+\mathrm{div}(\rho\vec{v})\Big]dV=0.\]

由于此式对于任意有界闭区域 $V_0$ 都成立, 故有

\[\frac{\partial\rho}{\partial t}+\mathrm{div}(\rho\vec{v})=0.\]

References:

L.D.Landau and E.M.Lifshitz, Fluid Mechanics, second edition, Course of Theoretical Physics.