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问题及解答

有限域上线性群的基本性质

Posted by haifeng on 2011-08-09 17:14:21 last update 2011-08-09 17:14:21 | Edit | Answers (0)

设 $\mathbb{F}=GF(q)$, 是包含 $q$ 个元素的有限域. 简记 $GL(n,\mathbb{F})=GL(n,GF(q))=GL(n,q)$., etc. 证明

  1. \[|GL(n,q)|=(q^n-1)(q^n-q)\cdots(q^n-q^{n-1});\]
  2. \[|SL(n,q)|=|PGL(n,q)|=|GL(n,q)|/(q-1);\]
  3. \[|PSL(n,q)|=|SL(n,q)|/(n,q-1).\]

这里 $(n,q-1)$ 指 $GCD(n,q-1)$.


定理: 若 $(n,q)\neq(2,2),(2,3)$, 则 $PSL(n,q)$ 是单群.