问题及解答

设定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(x)-f(-x)=2x^3$, 且当 $x>0$ 时, $f'(x)>3x^2$. 求不等式 $f(x)-f(x-1)>3x^2-3x+1$ 的解集.

提示: 这个题目要利用下面这个事实:

命题: 任何定义在对称区间上的函数 $f(x)$ 都可以写成一个奇函数和一个偶函数的和.

这是因为

\[
f(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}+\frac{f(x)+f(-x)}{2}.
\]

这个题目要利用下面这个事实:

任何定义在对称区间上的函数 $f(x)$ 都可以写成一个奇函数和一个偶函数的和.

这是因为

\[
f(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}+\frac{f(x)+f(-x)}{2}.
\]

不妨记 $g(x)=\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}$, $h(x)=\dfrac{f(x)-f(-x)}{2}$.