定理 (Bernstein) 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上任意阶可导, 且各阶导数非负. 则当 $x,x_0\in(a,b)$, 且 $|x-x_0| < b-x_0$ 时,
\[
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)(x_0)}}{n!}(x-x_0)^n\ .
\]
[Hint] 关键是要证明余项 $R_n(x)\rightarrow 0$ ($n\rightarrow\infty$). 在估计 $R_n(x)$ 时要用到关于 $f$ 高阶导数的估计:
\[
f^{(n)}(x)\leqslant\frac{n!M}{(b-x)^n},\quad\forall\ x\in(a,b),
\]
这里 $M=f(b)-f(a)$. (见问题3446.)
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首先回忆 $R_n(x)$ 的积分余项表示.
\[
R_n(x)=F(x)-(x_0)=\int_{x_0}^{x}F'(t)\mathrm{d}t=\int_{x_0}^{x}\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n\mathrm{d}t.
\]
这里
\[
F(t)=f(t)+\sum_{k=1}^{n}\frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k,\quad t\in(a,b).
\]
下面对于 $x$ 与 $x_0$ 的位置分情况讨论.
(1) $x > x_0$. 利用前面关于 $f^{(n)}$ 的估计（见引理）, 有
\[
\begin{split}
0\leqslant R_n(x)&=\int_{x_0}^{x}\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n\mathrm{d}t\\
&\leqslant\int_{x_0}^{x}(n+1)M\frac{(x-t)^n}{(b-t)^{n+1}}\mathrm{d}t\\
&\leqslant\frac{(n+1)M}{b-x}\int_{x_0}^{x}\Bigl(\frac{x-t}{b-t}\Bigr)^{n}\mathrm{d}t\\
&\leqslant\frac{(n+1)M}{b-x}\biggl(\frac{x-x_0}{b-x_0}\biggr)^n(x-x_0)\rightarrow 0\ (n\rightarrow\infty).
\end{split}
\]
最后一个不等式利用了 $\dfrac{x-t}{b-t}\leqslant\dfrac{x-x_0}{b-x_0}$ ($\forall\ x\in[x_0,x]$).
(2) $x < x_0$
\[
\begin{split}
|R_n(x)|&=\biggl|\int_{x_0}^{x}\frac{f^{(n+1)}(x)}{n!}(x-t)^n\mathrm{d}t\biggr|\\
&\leqslant\int_{x}^{x_0}\frac{f^{(n+1)}(x)}{n!}(t-x)^n\mathrm{d}t\\
&\leqslant\frac{1}{n!}f^{(n+1)}(x_0)\int_{x}^{x_0}(t-x)^n\mathrm{d} t\\
&=\frac{1}{n!}f^{(n+1)}(x_0)\cdot\frac{1}{n+1}(t-x)^{n+1}\biggr|_{x}^{x_0}\\
&=\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(x_0)\cdot(x_0-x)^{n+1}\\
&\leqslant\frac{M}{(b-x_0)^{n+1}}\cdot(x_0-x)^{n+1}\rightarrow 0\ (n\rightarrow\infty),
\end{split}
\]
或者直接使用 Lagrange 余项, 存在 $\xi\in(x,x_0)$,
\[
\begin{split}
|R_n(x)|&=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x_0-x)^{n+1}\\
&\leqslant\frac{f^{(n+1)}(x_0)}{(n+1)!}(x_0-x)^{n+1}\\
&\leqslant \frac{M}{(b-x_0)^{n+1}}(x_0-x)^{n+1}\\
&=M\biggl(\frac{x_0-x}{b-x_0}\biggr)^{n+1}\rightarrow 0\ (n\rightarrow\infty).
\end{split}
\]
总之, 余项的确是趋于零的.
证明参考自[1]
[1] 梅加强 编著 《数学分析》.