问题及解答

对任意实数 $x,y$, 证明 $|\sqrt{x}-\sqrt{y}|\leqslant\sqrt{|x-y|}$.

证明:  不妨设 $x > y$. 则要证的不等式等价于 $\sqrt{x}-\sqrt{y}\leqslant\sqrt{x-y}$, 这又等价于

\[
\begin{aligned}
&\sqrt{x}\leqslant\sqrt{y}+\sqrt{x-y}\\
\Leftrightarrow\ &x\leqslant y+2\sqrt{y}\sqrt{x-y}+x-y\\
\Leftrightarrow\ &0\leqslant 2\sqrt{y}\sqrt{x-y},
\end{aligned}
\]

这显然成立. 故得证.