问题及解答

(1)  设 $A$ 为实对称矩阵, $\lambda=\min_{|v|=1, v\in\mathbb{R}^n}\langle Av,v\rangle$. 求证: $\lambda$ 是 $A$ 的最小特征值.

(2)  设 $C=\{(x_1,x_2,\ldots,x_n)^T\mid x_i\geqslant 0, i=1,2,\ldots,n\}$. 求证: 对任意一个 $n$ 元列向量 $u$, 存在 $v,w\in C$, 满足 $\langle v,w\rangle=0$, $u=v-w$.

(3)  设 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ 是实对称矩阵, 满足对任意 $1\leqslant i,j\leqslant n$, $i\neq j$, 有 $a_{ij} < 0$, 且对任意的非零向量 $v\in C$, $-Av\not\in C$. 求证: $A$ 是正定矩阵.

(1)  证明:  $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵, 故存在 $P\in O(n)$, 使得

\[P^T AP=\begin{bmatrix}
\lambda_1 & 0 & \cdots & 0\\
0 &\lambda_2 & \cdots & 0\\
\vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\
0 & 0 & \cdots & \lambda_n
\end{bmatrix}\ ,\]

不妨设 $\lambda_1 \leqslant\lambda_2\leqslant\cdots\lambda_n$.  记这个由 $A$ 的特征值所构成的对角矩阵为 $D$, 也可简写为 $D=\mathrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n)$. 于是 $A=PDP^T$.

任取 $v\in S^{n-1}$ (即 $v\in\mathbb{R}^n$ 且 $\|v\|=1$), 

\[
\langle Av,v\rangle =v^T Av=v^T PDP^T v.
\]

令 $P^T v=u=(u_1,u_2,\ldots,u_n)^T$, 则

\[
\|P^T v\|=(P^T v)^T\cdot P^Tv=v^TPP^Tv=v^T v=\|v\|=1,
\]

即 $\|u\|=1$. 于是

\[
\begin{split}
v^T Av&=\langle Av,v\rangle=v^TPDP^Tv=u^TDu\\
&=\lambda_1 u_1^2+\lambda_2 u_2^2+\cdots+\lambda_n u_n^2\\
&\geqslant\lambda_1(u_1^2+u_2^2+\cdots+u_n^2)\\
&=\lambda_1.
\end{split}
\]

取 $w=P\cdot(1,0,\ldots,0)^T$, 则

\[
w^TAw=(1,0,\ldots,0)P^TAP\begin{pmatrix}
1\\
0\\
\vdots\\
0
\end{pmatrix}=(1,0,\ldots,0)
\begin{bmatrix}
\lambda_1 & 0 & \cdots & 0\\
0 &\lambda_2 & \cdots & 0\\
\vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\
0 & 0 & \cdots & \lambda_n
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
1\\
0\\
\vdots\\
0
\end{pmatrix}=\lambda_1.
\]

这说明

\[
\lambda_1=\min_{v\in S^{n-1}}\langle Av,v\rangle\ .
\]