求极限 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{1^p+2^p+\cdots+n^p}{n^{p+1}}$, 这里 $p > 0$.
[Ans] $\frac{1}{p+1}$.
[hint] 使用 Stolz 定理或者将其看成黎曼和的极限(即表示为积分). Stolz 定理被称为离散的洛必达法则, 因为其结论大致说的是两个数列之比的极限等于它们差分之比的极限, 如果后者存在的话.
当 $p$ 不是正整数时, 使用广义二项式展开定理, 这涉及无穷级数. 因此若未学到无穷级数, 则先约束 $p$ 为正整数, 采用二项式展开定理.
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记 $a_n=1^p+2^p+\cdots+n^p$, $b_n=n^{p+1}$, 由于 $p>0$, 故 $\{b_n\}$ 严格单调地趋于 $+\infty$. 根据 Stolz 公式,
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^p}{n^{p+1}-(n-1)^{p+1}}.
\]
若 $p$ 是正整数, 则
\[
n^{p+1}-(n-1)^{p+1}=n^p+n^{p-1}(n-1)+n^{p-2}(n-1)^2+\cdots+n^2(n-1)^{p-2}+n(n-1)^{p-1}+(n-1)^p,
\]
于是
\[
\begin{split}
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}&=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^p}{n^p+n^{p-1}(n-1)+n^{p-2}(n-1)^2+\cdots+n^2(n-1)^{p-2}+n(n-1)^{p-1}+(n-1)^p}\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{1+\frac{n-1}{n}+(\frac{n-1}{n})^2+\cdots+(\frac{n-1}{n})^p}\\
&=\frac{1}{p+1}.
\end{split}
\]
若 $p$ 不是整数,
\[
\begin{split}
n^{p+1}-(n-1)^{p+1}&=n^{p+1}\cdot\Bigl[1-(1-\frac{1}{n})^{p+1}\Bigr]\\
&=n^{p+1}\cdot\Bigl[1-\big(1-(p+1)\frac{1}{n}+\frac{(p+1)p}{2}\frac{1}{n^2}-\cdots\bigr)\Bigr]\\
&=n^{p+1}\cdot\Bigl[(p+1)\frac{1}{n}-\frac{(p+1)p}{2}\frac{1}{n^2}+\frac{(p+1)p(p-1)}{3!}\frac{1}{n^3}+o(\frac{1}{n^3})\Bigr].
\end{split}
\]
这里用到了广义二项式展开
\[
(1+x)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{\alpha}{k}x^k, \quad |x| < 1.
\]
因此,
\[
\begin{split}
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}&=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^p}{n^{p+1}\cdot\Bigl[(p+1)\frac{1}{n}-\frac{(p+1)p}{2}\frac{1}{n^2}+\frac{(p+1)p(p-1)}{3!}\frac{1}{n^3}+o(\frac{1}{n^3})\Bigr]}\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{(p+1)-\frac{(p+1)p}{2}\frac{1}{n}+\frac{(p+1)p(p-1)}{3!}\frac{1}{n^2}+o(\frac{1}{n^2})}\\
&=\frac{1}{p+1}.
\end{split}
\]