问题及解答

求极限

\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+x)^{\alpha}-1}{x},\]

这里 $\alpha$ 是实数.

\[
\begin{split}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+x)^{\alpha}-1}{x}&=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{\alpha\ln(1+x)}-1}{x}\\
&=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\alpha\ln(1+x)}{x}\\
&=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\alpha x}{x}\\
&=\alpha,
\end{split}
\]

这里第二、三个等号分别用了无穷小替换:  $e^x-1\sim x (x\rightarrow 0)$,  $\ln(1+x)\sim x (x\rightarrow 0)$.