计算行列式
\[
|A|=\begin{vmatrix}
1 & a & b & c\\
-a & 1 & d & e\\
-b & -d & 1 & f\\
-c & -e & -f & 1
\end{vmatrix}
\]
\[
|A_5|=\begin{vmatrix}
1 & a & b & c &d\\
-a & 1 & e & f & g\\
-b & -e & 1 & h & i\\
-c & -f & -h & 1 & j\\
-d & -g & -i & -j & 1
\end{vmatrix}
\]
1
\[
\begin{split}
|A|&=\begin{vmatrix}
1 & a & b & c\\
-a & 1 & d & e\\
-b & -d & 1 & f\\
-c & -e & -f & 1
\end{vmatrix}\xlongequal[r_3+r_1b,r_4+r_1c]{r_2+r_1a}
\begin{vmatrix}
1 & a & b & c\\
0 & 1+a^2 & d+ab & e+ac\\
0 & -d+ab & 1+b^2 & f+bc\\
0 & -e+ac & -f+bc & 1+c^2
\end{vmatrix}\\
&=\begin{vmatrix}
1+a^2 & d+ab & e+ac\\
-d+ab & 1+b^2 & f+bc\\
-e+ac & -f+bc & 1+c^2
\end{vmatrix}\\
&=(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)+(d+ab)(f+bc)(-e+ac)+(e+ac)(-d+ab)(-f+bc)\\
&\qquad-(1+b^2)(e+ac)(-e+ac)-(1+c^2)(d+ab)(-d+ab)-(1+a^2)(f+bc)(-f+bc)\\
&=(1+a^2)(1+b^2+c^2+b^2 c^2)+(df+bcd+abf+ab^2c)(-e+ac)+(-de+abe-acd+a^2bc)(-f+bc)\\
&\qquad-(1+b^2)(a^2 c^2-e^2)-(1+c^2)(a^2 b^2-d^2)-(1+a^2)(b^2 c^2-f^2)\\
&=(1+b^2+c^2+b^2 c^2+a^2+a^2 b^2+a^2 c^2+a^2 b^2 c^2)+(-def+acdf-bcde+abc^2d-abef+a^2bcf-ab^2ce+a^2b^2c^2)\\
&\qquad+(def-bcde-abef+ab^2ce+acdf-abc^2d-a^2bcf+a^2b^2c^2)\\
&\qquad-(a^2c^2-e^2+a^2b^2c^2-b^2e^2)-(a^2b^2-d^2+a^2b^2c^2-c^2d^2)-(b^2c^2-f^2+a^2b^2c^2-a^2f^2)\\
&=1+a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2+a^2f^2+b^2e^2+c^2d^2+2acdf-2bcde-2abef.
\end{split}
\]
2
使用 Sowya, 可以计算 $A_5$ 的行列式.
\[
\begin{split}
|A_5|&=j^2+h^2+hji-hij+i^2+e^2jj+e^2+ehf+ehjg-eifj+eig-efh-efji+f^2\\
&\quad+fjg+fifi-fihg+eghj-egi-fgj+g^2-ghfi+ghhg+a^2jj+a^2hh+a^2hji\\
&\quad-a^2ihj+a^2ii+a^2+aebjj+aeb+aehc+aehjd-aeicj+aeid-afbh-afbji\\
&\quad+afc+afjd+afici-afihd+agbhj-agbi-agcj+agd-aghci+aghhd-abejj\\
&\quad-abe-abhf-abhjg+abifj-abig+b^2jj+b^2+bhc+bhjd-bicj+bid+bfbf\\
&\quad+bfbjg-bfec-bfejd-bficg+bfifd-bgbfj+bgbg+bgecj-bged+bghcg-bghfd\\
&\quad+aceh+aceji-acf-acjg-acifi+acihg-bch-bcji+c^2+cjd+cici-cihd-cebf\\
&\quad-cebjg+ceec+ceejd+ceicg-ceifd+cgbfi-cgbhg-cgeci+cgehd+cgcg-cgfd\\
&\quad-adehj+adei+adfj-adg+adhfi-adhhg+bdhj-bdi-cdj+d^2-dhci+dhhd\\
&\quad+debfj-debg-deecj+deed-dehcg+dehfd-dfbfi+dfbhg+dfeci-dfehd-dfcg+dffd\\
&\quad+1,
\end{split}
\]
化简后即
\[
\begin{split}
|A_5|&=j^2+h^2+i^2+e^2j^2+e^2+2eghj-2efij+f^2+f^2i^2-2fghi\\
&\quad+g^2+g^2h^2+a^2j^2+a^2h^2+a^2i^2+a^2+2aceh+2adei-2abfh\\
&\quad+2adfj-2abgi-2acgj+b^2j^2+b^2+2bdhj-2bcij+b^2f^2\\
&\quad-2bcef+b^2g^2-2bdeg+c^2+c^2i^2-2cdhi+c^2e^2+c^2g^2-2cdfg\\
&\quad+d^2+d^2h^2+d^2e^2+d^2f^2+1.
\end{split}
\]
整理后得
\[
\begin{split}
|A_5|&=1+a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2+g^2+h^2+i^2+j^2\\
&\quad+a^2h^2+a^2i^2+a^2j^2\\
&\quad+b^2f^2+b^2g^2+b^2j^2\\
&\quad+c^2e^2+c^2g^2+c^2i^2\\
&\quad+d^2e^2+d^2f^2+d^2h^2\\
&\quad+e^2j^2\\
&\quad+f^2i^2\\
&\quad+g^2h^2\\
&\quad-2abfh-2abgi+2aceh-2acgj+2adei+2adfj\\
&\quad-2bcef-2bcij-2bdeg+2bdhj\\
&\quad-2cdfg-2cdhi\\
&\quad-2efij+2eghj\\
&\quad-2fghi\ .
\end{split}
\]