问题及解答

设

\[
A_n=\begin{pmatrix}
a & b & b & \cdots & b\\
c & a & b & \cdots & b\\
c & c & a & \cdots & b\\
\vdots & \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
c & c & c & \cdots & a
\end{pmatrix}
\]

求 $\det(A_n)$.

[Hint]  使用行列式的 Laplace 展开定理.

详见 请问这个行列式怎么做？。。 ? - 知乎

(这里的方法不必用到递推公式.)

若 $b=0$ 或 $c=0$, 则直接得 $\det(A_n)=a^n$. 下设 $b\neq 0$. 于是行列式每行提取因子 $b$, 并记 $t=\frac{c}{b}$, $s=\frac{a}{b}$, 得

\[
|A_n|=b^n\cdot\begin{vmatrix}
\frac{a}{b} & 1 & 1 &\cdots & 1\\
\frac{c}{b} & \frac{a}{b} & 1 &\cdots & 1\\
\frac{c}{b} & \frac{c}{b} & \frac{a}{b}  &\cdots & 1\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{c}{b} & \frac{c}{b} & \frac{c}{b} & \cdots & \frac{a}{b}
\end{vmatrix}_n=b^n\cdot\begin{vmatrix}
s & 1 & 1 & \cdots & 1\\
t & s & 1 & \cdots & 1\\
t & t & s & \cdots & 1\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
t & t & t & \cdots & s\\
\end{vmatrix}_n
\]

这提示我们可以将这些1消掉. 当然, 我们也可以不作上面变换.

\[
\begin{vmatrix}
a & b & b & \cdots & b\\
c & a & b & \cdots & b\\
c & c & a & \cdots & b\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
c & c & c & \cdots & a\\
\end{vmatrix}_n
\xlongequal[i=n,n-1,\ldots,2]{r_i-r_{i-1}}
\begin{vmatrix}
a & b & \cdots & b & b\\
c-a & a-b  & \cdots & 0 & 0\\
0 & c-a & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots  & \ddots & \ddots &\vdots \\
0 & 0 & \cdots & c-a & a-b\\
\end{vmatrix}_n
\]

记 $t=\frac{b-a}{c-a}$, 作列变换

\[
\xlongequal[i=2,3,\ldots,n]{c_i+c_{i-1}\cdot t}
\begin{vmatrix}
a & at+b & (at+b)t+b & \cdots & at^{n-1}+bt^{n-2}+\cdots+bt+b\\
c-a & 0 & 0 & \cdots & 0\\
0 & c-a & 0 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\
0 & 0 & \cdots & c-a & 0
\end{vmatrix}_n
\]

故, 行列式

\[
\begin{split}
|A_n|&=(-1)^{1+n}(at^{n-1}+bt^{n-2}+\cdots+bt+b)\cdot(c-a)^{n-1}\\
&=(-1)^{n-1}\bigl(at^{n-1}+b\cdot\frac{1-t^{n-1}}{1-t}\bigr)\cdot(c-a)^{n-1}\\
&=(-1)^{n-1}\cdot\biggl[a(\frac{b-a}{c-a})^{n-1}+b\cdot\frac{1-(\frac{b-a}{c-a})^{n-1}}{1-\frac{b-a}{c-a}}\biggr]\cdot(c-a)^{n-1}\\
&=(-1)^{n-1}\cdot\biggl[a(b-c)^{n-1}+b\cdot\frac{(c-a)^{n-1}-(b-a)^{n-1}}{\frac{c-b}{c-a}}\biggr]\\
&=(-1)^{n-1}\cdot\biggl[a(b-a)^{n-1}-b\frac{c-a}{c-b}(b-a)^{n-1}+b\frac{(c-a)^n}{c-b}\biggr]\\
&=(-1)^{n-1}\cdot\biggl[\Bigl(a-b\frac{c-a}{c-b}\Bigr)(b-a)^{n-1}+b\frac{(c-a)^n}{c-b}\biggr]\\
&=(-1)^{n-1}\cdot\biggl[\frac{-c(b-a)^n+b(c-a)^n}{c-b}\biggr]\\
&=\frac{c(a-b)^n-b(a-c)^n}{c-b}
\end{split}
\]