设 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_n}=A > 1$, 则 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=+\infty$.
设 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_n}=A > 1$, 则 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=+\infty$.
Answer
问题及解答
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Pf. 由于 $A > 1$, 故可任取 $M > \frac{1}{A-1} > 0$, 对于 $\varepsilon=\frac{1}{M}$, 由条件 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_n}=A$, 知存在 $N$, 使得对任意 $n > N$ 都有
\[
|\sqrt[n]{a_n}-A|<\varepsilon.
\]
这推出
\[
a_n > (A-\varepsilon)^n
\]
待续