问题及解答

求函数 $f(g(x^2,x),x)$ 关于 $x$ 的导数, 假设 $f$ 和 $g$ 的偏导数都存在.

记 $h(x)=f(g(x^2,x),x)$, 

\[
\begin{split}
\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}x}&=f'_1(g(x^2,x),x)\cdot\bigl[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}g(x^2,x)\bigr]+f'_2(g(x^2,x),x)\\
&=f'_1(g(x^2,x),x)\cdot\bigl[g'_1(x^2,x)\cdot 2x+g'_2(x^2,x)\bigr]+f'_2(g(x^2,x),x)
\end{split}
\]