问题及解答

判断数列 $\{\sin n\}$, $\{\sin(n^2)\}$ 的敛散性.

这两个数列都是发散的. 首先证明 $\{\sin n\}$ 是发散的.

(反证法)  假设 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sin n=A$. 根据三角函数的性质,

\[
\begin{aligned}
\sin(n+1)&=\sin n\cdot\cos 1+\cos n\cdot\sin 1,\\
\sin(n-1)&=\sin n\cdot\cos 1-\cos n\cdot\sin 1.
\end{aligned}
\] 

两式相加得

\[
\sin(n+1)+\sin(n-1)=2\sin n\cdot\cos 1,
\]

两边令 $n\rightarrow\infty$, 得

\[
A+A=2A\cos 1,
\]

这推出 $A(1-\cos 1)=0$, 故 $A=0$. 若将上面两式相减, 则有

\[
\sin(n+1)-\sin(n-1)=2\cos n\cdot\sin 1.
\]

两边令 $n\rightarrow\infty$ 取极限, 得

\[
0=2\sin 1\cdot\lim_{n\rightarrow\infty}\cos n,
\]

即推出 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\cos n=0$. 故

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}(\sin^2 n+\cos^2 n)=A^2+0=0.
\]

但这与

\[
\sin^2 n+\cos^2 n=1
\]

矛盾. 因此 $\{\sin n\}$ 发散.

(反证法)  假设 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sin(n^2)=A$. 则

\[\lim_{n\rightarrow\infty}\cos^2(n^2)=\lim_{n\rightarrow\infty}[1-\sin^2(n^2)]=1-A^2.\]

从而

\[
\limsup_{n\rightarrow\infty}\cos(n^2)=\sqrt{1-A^2}.
\]

根据三角函数的性质,

\[
\begin{aligned}
\sin[(n+1)^2]&=\sin[n^2+(2n+1)]=\sin(n^2)\cos(2n+1)+\cos(n^2)\sin(2n+1),\qquad(1)\\
\sin[(n)^2]&=\sin[(n+1)^2-(2n+1)]=\sin[(n+1)^2]\cos(2n+1)-\cos[(n+1)^2]\sin(2n+1).\qquad(2)
\end{aligned}
\]

若 $A=\pm 1$, 则 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\cos^2(n^2)=0$, 故而 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\cos(n^2)=0$. 在 $(1)$ 中令 $n\rightarrow\infty$ 取极限, 得

\[
A=A\lim_{n\rightarrow\infty}\cos(2n+1)+0,
\]

从而 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\cos(2n+1)=1$, 利用恒等式

\[
\cos(2n+1)+\cos(2n-1)=2\cos(2n)\cos 1
\]

可得 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\cos(2n)=\frac{1}{\cos 1} > 1$, 矛盾.  

因此, $|A| < 1$.

$(1)-(2)$, 得

\[
\sin[(n+1)^2]-\sin(n^2)=[\sin(n^2)-\sin[(n+1)^2]]\cos(2n+1)+[\cos(n^2)+\cos[(n+1)^2]]\sin(2n+1),
\]

这推出

\[
\bigl(\sin[(n+1)^2]-\sin(n^2)\bigr)\cdot(1-\cos(2n+1))=\bigl(\cos(n^2)+\cos[(n+1)^2]\bigr)\sin(2n+1).
\]

两边令 $n\rightarrow\infty$ 取上极限, 得

\[
0=\limsup_{n\rightarrow\infty}\bigl(\cos(n^2)+\cos[(n+1)^2]\bigr)\cdot\limsup_{n\rightarrow\infty}\sin(2n+1),
\]

即

\[
0=2\sqrt{1-A^2}\limsup_{n\rightarrow\infty}\sin(2n+1),
\]

类似, 取下极限

\[
0=\liminf_{n\rightarrow\infty}\bigl(\cos(n^2)+\cos[(n+1)^2]\bigr)\cdot\liminf_{n\rightarrow\infty}\sin(2n+1),
\]

即

\[
0=-2\sqrt{1-A^2}\liminf_{n\rightarrow\infty}\sin(2n+1),
\]

注意此时 $|A| < 1$, 因此

\[
\liminf_{n\rightarrow\infty}\sin(2n+1)=0=\limsup_{n\rightarrow\infty}\sin(2n+1),
\]

即

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\sin(2n+1)=0.
\]

矛盾.

故数列 $\{\sin(n^2)\}$ 是发散的.