计算极限 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\prod_{k=2}^{n}\cos(\frac{\pi}{2^k})$.
计算极限
\[\lim_{n\rightarrow\infty}\prod_{k=2}^{n}\cos(\frac{\pi}{2^k}).\]
Answer
问题及解答
1
使用 Sowya 计算. 将以下代码保存到文件 prod_cos.txt,
/*
* 计算极限 \lim_{n\rightarrow\infty}\prod_{k=2}^{n}\cos(\frac{\pi}{2^k})
* 这里pi精确到小数点后100位.
*/
setprecision(100);
fun F(n){
var A=1;
var pi=3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679;
var t=1;
for(var k=2; k<=n; k=k+1){
t=2^k;
A=A*cos(pi/t);
truncate(A,120d);
}
return A;
}
这里的truncate(A,120d);是将每次计算得到的A保留小数点后120位数据.
启动 Sowya, 键入 :mode clox 进入编程模式（提示符为>）.
>> :mode clox
>
如果上面保存的文件位于 D:\Sowya\code 目录, 则输入load(code/prod_cos.txt)函数加载.
> load(D:/Sowya/code/prod_cos.txt)
>
然后输入print F(35);
> print F(35);
0.636619772367581343076422064318204988395478822089992899127263836462738796766952123152457342454433583419849611063678769635
运行print F(100); 等得
> print F(100);
0.636619772367581343075535053490057448137838582961825794990670027908223194057195309957074147734838498346983031284617118463>
> print F(200);
0.636619772367581343075535053490057448137838582961825794990669376235587190536906140360455211065012344226266554036416756118>
> print F(300);
0.636619772367581343075535053490057448137838582961825794990669376235587190536906140360455211065012344226266554036416756118>
按 :q 退出 clox模式. 回到有提示符>>的界面. 再按:q并回车则退出Sowya.