计算三重积分 $\displaystyle\iiint_{\Omega}\frac{1}{(1+x+y+z)^3}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$, 其中 $\Omega$ 是由平面 $x+y+z=1$ 与三个坐标面所围成的闭区域.
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$\Omega$ 在 $xoy$ 平面上的投影为 $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 0\leqslant x\leqslant 1, 0\leqslant y\leqslant 1-x\}$.
过 $D\subset\Omega$ 中一点 $(x,y,0)$ 作 $xoy$ 平面的垂线, 交平面 $x+y+z=1$ 于点 $(x,y,1-x-y)$. 因此原积分可以写为
\[
\iint_{D}\biggr[\int_{0}^{1-x-y}\frac{1}{(1+x+y+z)^3}\mathrm{d}z\biggr]\mathrm{d}\sigma\ .
\]
其中
\[
\begin{split}
\int_{0}^{1-x-y}\frac{1}{(1+x+y+z)^3}\mathrm{d}z&\stackrel{t=1+x+y+z}{=}\int_{1+x+y}^{2}\frac{1}{t^3}\mathrm{d}t=(\frac{1}{-2}t^{-2})\Bigr|_{1+x+y}^{2}\\
&=\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{(1+x+y)^2}-\frac{1}{4}\Bigr)
\end{split}
\]
故
\[
\begin{split}
\text{原积分}&=\iint_D \frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{(1+x+y)^2}-\frac{1}{4}\Bigr)\mathrm{d}\sigma=\frac{1}{2}\iint_D \frac{1}{(1+x+y)^2}\mathrm{d}\sigma-\frac{1}{8}\iint_D \mathrm{d}\sigma\\
&=\frac{1}{2}\int_0^1 \mathrm{d}x\int_{0}^{1-x}\frac{1}{(1+x+y)^2}\mathrm{d}y-\frac{1}{8}\cdot\mathrm{Area}(D)\\
&\stackrel{t=1+x+y}{=}\frac{1}{2}\int_0^1 \mathrm{d}x\int_{1+x}^{2}\frac{1}{t^2}\mathrm{d}t-\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1\\
&=\frac{1}{2}\int_0^1 \mathrm{d}x\cdot (-\frac{1}{t})\biggr|_{1+x}^{2}-\frac{1}{16}\\
&=\frac{1}{2}\int_0^1 (-\frac{1}{2}+\frac{1}{1+x})\mathrm{d}x-\frac{1}{16}\\
&=\frac{1}{2}\cdot\biggl[(-\frac{1}{2})+\ln(1+x)\biggr|_{0}^{1}\biggr]-\frac{1}{16}\\
&=\frac{1}{2}\cdot(-\frac{1}{2}+\ln 2)-\frac{1}{16}=\frac{1}{2}\ln 2-\frac{5}{16}.
\end{split}
\]