问题及解答

• 群 $G$ 的中心 $Z(G)$ 是 $G$ 的特征子群, 但不是全不变子群.

设 $\alpha\in\text{Aut}(G)$, 任取 $g\in Z(G)$, 要证 $\alpha(g)\in Z(G)$, 即证明

\[\alpha(g)^{-1}h\alpha(g)=h,\quad\forall\ h\in G.\]

由于 $\alpha$ 是 $G$ 的自同构, 所以存在惟一的 $t\in G$, 使得 $h=\alpha(t)$, 从而由 $g^{-1}tg=t$, 得 $\alpha(g)^{-1}\alpha(t)\alpha(g)=\alpha(t)$, 即 $\alpha(g)^{-1}h\alpha(g)=h$ 对任意 $h\in G$ 成立.

上面的论述对任意 $\alpha\in\text{Aut}(G)$ 都是正确的, 故得证.