问题及解答

• 称群 $G$ 的子群 $H$ 为 $G$ 的特征子群, 如果 $\alpha(H)\subset H$, $\forall\,\alpha\in\text{Aut}(G)$. 这时记作 $H\ \text{char}\ G$.
• 称群 $G$ 的子群 $H$ 为 $G$ 的全不变子群, 如果 $\alpha(H)\subset H$, $\forall\,\alpha\in\text{End}(G)$.

根据定义, 全不变子群显然是特征子群.

• 群 $G$ 本身和单位群 1 显然都是 $G$ 的特征子群和全不变子群.
• 群 $G$ 的中心 $Z(G)$ 是 $G$ 的特征子群, 但不是全不变子群.

类似的, 正规子群可以这样定义: 称群 $H$ 为 $G$ 的正规子群, 如果 $\alpha(H)\subset H$, $\forall\ \alpha\in\sigma(G)$. 由于 $\sigma(G)\subset\text{Aut}(G)$, 故特征子群一定是正规子群.