问题及解答

设 $H\leq G$, 则 $N_G(H)/C_G(H)$ 同构于 $\text{Aut}(H)$ 的一个子群, 记作

设 $g\in N_G(H)$, 则 $\sigma_g:h\mapsto g^{-1}hg$ 是 $H$ 的自同构. 并且显然 $g\mapsto\sigma_g$ 是 $N_G(H)$ 到 $\text{Aut}(H)$ 内的同态, 其核为

\[\begin{split}\text{Ker}\sigma&=\{g\in N_G(H)\mid g^{-1}hg=h,\forall\ h\in H\}\\&=C_{N_G(H)}(H)=C_G(H)\cap N_G(H).\end{split}\]

这里 $C_{N_G(H)}(H)=C_G(H)\cap N_G(H)$ 完全是根据(中心化子和正规化子的)定义:

\[C_G(H)\cap N_G(H)=\{g\in G\mid g^{-1}hg=h, \forall\ h\in H,\ \text{and}\ g^{-1}Hg=H\}\]

但明显的有 $C_G(H)\leq N_G(H)$, 故 $\text{Ker}\sigma=C_G(H)$. 于是由同态基本定理

\[N_G(H)/C_G(H)\cong\sigma(N_G(H))\leq\text{Aut}(H).\]