问题及解答

证明 $\mathbb{Z}$ 的全部子群为 $\{m\mathbb{Z}\mid m\in\mathbb{Z}\}$.

这里 $m\mathbb{Z}=\{0,\pm m,\pm 2m,\ldots\}$

Pf.  $m\mathbb{Z}$ 显然是 $\mathbb{Z}$ 的子群.

反之, 设 $H$ 是 $\mathbb{Z}$ 的子群, 则 $0\in H$. 若 $H=\{0\}$, 则 $H=0\mathbb{Z}$. 若 $H$ 中存在非零元素 $a$, 不妨设 $a > 0$ (因为 $a\in H$ 可推出 $-a\in H$). 于是必有最小的正元素 $m$, 使得 $m\leqslant a$. 下证 $m$ 整除 $a$.

若不然, 则存在正整数 $k$, 使得

\[km < a < (k+1)m\ .\]

于是 

\[
0< a-km < m\ .
\]

即 $H$ 中存在比 $m$ 更小的元素 $a-km$. 矛盾. 故 $m|a$.  这说明 $H$ 中每个元素都由 $m$ 生成. 从而 $H=<m>=m\mathbb{Z}$.  这是一个循环群.