问题及解答

计算定积分 $\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{x\ln x}{(1+x^2)^2}\mathrm{d}x$.

将该积分的积分区间分成 $[0,1]$, $[1,+\infty)$ 两部分.

\[
\int_0^{\infty}\frac{x\ln x}{(1+x^2)^2}\mathrm{d}x=\int_0^{1}\frac{x\ln x}{(1+x^2)^2}\mathrm{d}x+\int_1^{\infty}\frac{x\ln x}{(1+x^2)^2}\mathrm{d}x
\]

其中第二个积分利用倒代换 $t=\frac{1}{x}$, 得

\[
\begin{split}
\int_1^{\infty}\frac{x\ln x}{(1+x^2)^2}\mathrm{d}x&=\int_1^0 \frac{\frac{1}{t}\ln\frac{1}{t}}{(1+\frac{1}{t^2})^2}\mathrm{d}\frac{1}{t}\\
&=\int_1^0 \frac{-\ln t}{t(1+\frac{1}{t^2})^2}\cdot\frac{-1}{t^2}\mathrm{d}t\\
&=-\int_0^1\frac{\ln t}{t^3\cdot\frac{(t^2+1)^2}{t^4}}\mathrm{d}t\\
&=-\int_0^1\frac{t\ln t}{(1+t^2)^2}\mathrm{d}t
\end{split}
\]

因此, 原积分等于 0.

(法二) 也可以先求被积函数的原函数.

\[
\begin{split}
\int\frac{x\ln x}{(1+x^2)^2}\mathrm{d}x&=-\frac{1}{2}\int\ln x\mathrm{d}\frac{1}{1+x^2}\\
&=-\frac{1}{2}\biggl[\frac{\ln x}{1+x^2}-\int\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}\ln x\biggr]\\
&=-\frac{\ln x}{2(1+x^2)}+\frac{1}{2}\cdot\int\frac{1}{1+x^2}\cdot\frac{1}{x}\mathrm{d}x,
\end{split}
\]

其中

\[
\begin{split}
\int\frac{1}{1+x^2}\cdot\frac{1}{x}\mathrm{d}x&=\int(\frac{1}{x}-\frac{x}{1+x^2})\mathrm{d}x\\
&=\ln x-\int\frac{x}{1+x^2}\mathrm{d}x\\
&=\ln x-\frac{1}{2}\int\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x^2\\
&=\ln x-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C
\end{split}
\]

因此,

\[
\begin{split}
\int\frac{x\ln x}{(1+x^2)^2}\mathrm{d}x&=-\frac{\ln x}{2(1+x^2)}+\frac{1}{2}\ln x-\frac{1}{4}\ln(1+x^2)+C\\
&=\frac{x^2\ln x}{2(1+x^2)}-\frac{1}{4}\ln(1+x^2)+C
\end{split}
\]