问题及解答

计算下列数的近似值.

(1)  $(1.007)^{2.98}$

$(1.007)^{2.98}$ 可以写成 $(1+0.007)^{3-0.02}$.

考虑函数 $z=f(x,y)=x^y$, 其定义域为 $\mathbb{R}^{+}\times\mathbb{R}$.  则函数 $f(x,y)$ 在 $(1.007,2.98)$ 的值可以用下式近似计算:

\[
f(x+\Delta x, y+\Delta y)\approx f(x,y)+A\Delta x+B\Delta y,
\]

其中 $A=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=yx^{y-1}$, $B=\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x^y \ln x$.

令 $x=1$, $y=3$, $\Delta x=0.007$, $\Delta y=-0.02$, 得

\[
f(1.007,2.98)\approx f(1,3)+(3\cdot 1^{3-1})\cdot 0.007+(1^3 \ln 1)\cdot (-0.02)=1^3+3\cdot 0.007=1.021
\]