问题及解答

求方程 $3x^2yy'=\sqrt{1-y^2}$ 满足初始条件 $y(1)=0$ 的特解.

\[
\begin{split}
&3x^2 y\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\sqrt{1-y^2}\\
\Rightarrow\ &\frac{3y\mathrm{d}y}{\sqrt{1-y^2}}=\frac{\mathrm{d}x}{x^2}\\
\Rightarrow\ &\int\frac{3}{2}\cdot\frac{\mathrm{d}y^2}{\sqrt{1-y^2}}=\int\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x\\
\Rightarrow\  &\frac{3}{2}\int\frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{1-u}}=-\frac{1}{x}+C\\
\Rightarrow\ &-3\sqrt{1-u}=-\frac{1}{x}+C\\
\Rightarrow\ &3\sqrt{1-u}=\frac{1}{x}+C\\
\end{split}
\]

令 $x=1$, 由条件 $y=0$, 此时 $u=y^2=0$, 代入, 得 $C=2$. 即

\[
3\sqrt{1-y^2}=\frac{1}{x}+2.
\]