问题及解答

利用导数定义证明 $(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

记 $y=\arcsin x$, 其定义域为 $[-1,1]$, 值域为 $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$. 设 $a\in(-1,1)$, 记 $b=\arcsin a$, 则 $x=\sin y$, $a=\sin b$.

由 $y=\arcsin x$ 的连续性, 当 $x\rightarrow a$ 时, $y\rightarrow b$. 于是根据导数的定义,

\[
\begin{split}
y'(a)&=\lim_{x\rightarrow a}\frac{\arcsin x-\arcsin a}{x-a}\\
&=\lim_{x\rightarrow a}\frac{y-b}{\sin y-\sin b}\\
&=\lim_{y\rightarrow b}\frac{y-b}{\sin y-\sin b}\\
&=\lim_{y\rightarrow b}\frac{1}{\frac{\sin y-\sin b}{y-b}}\\
&=\frac{1}{\cos b}\\
&=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 b}}\\
&=\frac{1}{\sqrt{1-a^2}}
\end{split}
\]

因此, 

\[
(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
\]