设函数 $z=f(x,y)$ 由方程 $z^3+3xyz-3\sin(xy)=1$ 所确定, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$.
[Idea]
1. 向系统输入 z=f(x,y), 表面 z 是 x,y 的函数; x,y 是自变量.
2. 然后输入 F(x,y,z) 的表达式, 这里是 $F(x,y,z)=z^3+3xyz-3\sin(xy)-1$.
3. 求 $F'_x$, $F'_y$ 和 $F'_z$.
4. 输出
\[
\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F'_x}{F'_z},\quad\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F'_y}{F'_z}.
\]
Calculator 开发计划
1
x(法一) 方程两边对 $x$ 求偏导, $z$ 是 $x,y$ 的函数.
\[
\begin{split}
& 3z^2\cdot z'_x+3yz+3xyz'_x-3\cos(xy)\cdot y=0\\
\Rightarrow\ &z'_x\cdot(z^2+xy)=y\cos(xy)-yz\\
\Rightarrow\ &z'_x=\frac{y(\cos(xy)-z)}{z^2+xy}.
\end{split}
\]
类似地, 可以求得 $z'_y=\dfrac{x\cos(xy)-xz}{z^2+xy}$.
(法二)
令 $F(x,y,z)=z^3+3xyz-3\sin(xy)-1$. 于是
\[
\begin{aligned}
F'_x&=3yz-3\cos(xy)\cdot y,\\
F'_y&=3xz-3\cos(xy)\cdot x,\\
F'_z&=3z^2+3xy.
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
z'_x=-\frac{F'_x}{F'_z}=-\frac{3yz-3\cos(xy)\cdot y}{3z^2+3xy}=\frac{y\cos(xy)-yz}{z^2+xy},\\
z'_y=-\frac{F'_y}{F'_z}=-\frac{3xz-3\cos(xy)\cdot x}{3z^2+3xy}=\frac{x\cos(xy)-xz}{z^2+xy}.
\end{aligned}
\]