问题及解答

一个 $n$ 维单形($n$-simplex)具有多少个 $k$ 维面?  这里 $k=1$ 时即指边.

这个问题来自于 [1] Exercise of Chapter 1.

6. How many faces does an $n$-simplex have? Prove that your answer is correct.

References:

[1] Fred H. Croom,  Basic Concepts of Algebraic Topology.

设 $\sigma^n$ 是一个 $n$-simplex, 它具有 $n+1$ 个顶点. 

例如: 2维单形即三角形, 具有三个顶点, 一个2维面.

$\sigma^n=\langle a_0 a_1 a_2 \cdots a_n\rangle$, 则其顶点数为 $v=n+1$.

边数是 $e=C_{n+1}^{2}=\frac{n(n+1)}{2}$.

所有的 2维面的个数是 $f=C_{n+1}^{3}$.