问题及解答

构建开球 $\mathrm{int}(D^n)$ 到 $\mathbb{R}^n$ 的同胚映射.

这里 $D^n=\{x\in\mathbb{R}^n\mid |x|\leqslant 1\}$, $\mathrm{int}(D^n)$ 是 $D^n$ 的内部. 有时也记

\[
B^n=\{x\in\mathbb{R}^n\mid |x| < 1\},
\]

即 $B^n=\mathrm{int}(D^n)$, 而 $\bar{B}^n=D^n$.

[Hint] 利用 $y=\tan x$, $x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$, 可以构建 $(-1,1)$ 到 $\mathbb{R}$ 的同胚映射:

\[
\begin{array}{rcl}
\varphi:\ (-1,1)&\rightarrow&\mathbb{R}\\
x&\mapsto&\tan(\frac{\pi}{2}x)
\end{array}
\]

R当构造 $B^2=\mathrm{int}(D^2)$ 到 $\mathbb{R}^2$ 的同胚映射时, 一个直观的想法是对于 $B^2$ 中任意一条直径 (方向是 $\vec{x}$), 映射到 $\mathbb{R}^2$ 中与之同方向(即平行于 $\vec{x}$)的直线.

因此, 同胚映射应该设定为

\[
\begin{array}{rcl}
\varphi:\ B^2 &\rightarrow &\mathbb{R}^2\\
x&\mapsto &\tan(\frac{\pi}{2}|x|)\cdot\frac{x}{|x|}
\end{array}
\]

这里 $x\in B^2$, 也可以看成一个向量. $\frac{x}{|x|}$ 是单位向量.  从而, 高维时, 映射也可以这么构造.