问题及解答

设不等式 $x^2\leqslant e^{\alpha x}$ 对所有 $\ x\in(0,+\infty)$ 都成立, $\alpha$ 为正数. 求 $\alpha$ 的最小取值.

$\alpha$ 是正数, 所以

\[e^{\alpha x}\geqslant x^2\quad\Leftrightarrow\quad\alpha x\geqslant 2\ln x.\]

令 $\varphi(x)=\alpha x-2\ln x$, $x\in(0,+\infty)$. 则

\[
\varphi'(x)=\alpha-\frac{2}{x}\quad
\begin{cases}
< 0, &x\in(0,\frac{2}{\alpha}),\\
=0, &x=\frac{2}{\alpha},\\
> 0, &x\in(\frac{2}{\alpha},+\infty)
\end{cases}
\]

$\varphi(\frac{2}{\alpha})=\alpha\cdot\frac{2}{\alpha}-2\ln\frac{2}{\alpha}$, 令 $\varphi(\frac{2}{\alpha})\geqslant 0$, 则推出 $2-2\ln\frac{2}{\alpha}\geqslant 0$. 即

\[
\alpha\geqslant\frac{2}{e}.
\]