问题及解答

使用对数求导法求下列函数的导数.

(1)   $y=\dfrac{(x+1)^2\sqrt{3x-2}}{x^3\sqrt{2x+1}}$

(1)

\[
\begin{split}
\ln y&=\ln\dfrac{(x+1)^2\sqrt{3x-2}}{x^3\sqrt{2x+1}}\\
&=\ln(x+1)^2+\ln\sqrt{3x-2}-\ln x^3-\ln\sqrt{2x+1}\\
&=2\ln|x+1|+\frac{1}{2}\ln(3x-2)-3\ln x-\frac{1}{2}\ln(2x+1).
\end{split}
\]

两边对 $x$ 求导, $y$ 看成 $x$ 的函数, 

\[
\begin{split}
\frac{y'}{y}&=2\cdot\frac{1}{x+1}\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3x-2}\cdot 3-3\cdot\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2x+1}\cdot 2\\
&=\frac{2}{x+1}+\frac{3}{2(3x-2)}-\frac{3}{x}-\frac{1}{2x+1},
\end{split}
\]

于是

\[
\begin{split}
y'&=y\cdot\Bigl(\frac{2}{x+1}+\frac{3}{2(3x-2)}-\frac{3}{x}-\frac{1}{2x+1}\Bigr)\\
&=\dfrac{(x+1)^2\sqrt{3x-2}}{x^3\sqrt{2x+1}}\cdot\Bigl(\frac{2}{x+1}+\frac{3}{2(3x-2)}-\frac{3}{x}-\frac{1}{2x+1}\Bigr).
\end{split}
\]