问题及解答

设函数 $y=y(x)$ 是由方程 $e^y+xy-x^2=1$ 所确定的函数, 求 $y'$ 和 $y''$.

若当 $x\rightarrow 0$ 时, $y(x)$ 与 $x^k$ 是同阶无穷小, 求 $k$ 的值.

对方程 $e^y+xy-x^2=1$ 两边关于 $x$ 求导, $y$ 看成 $x$ 的函数.

\[
e^y\cdot y'+1\cdot y+xy'-2x=0\quad (*)
\]

\[
y'=\frac{2x-y}{e^y+x}.
\]

在原方程中令 $x=0$, 得 $y(0)=0$. 于是 $y'(0)=0$.

对 (*) 中再次对 $x$ 求导,  $y$ 看成 $x$ 的函数. 得

\[
e^y\cdot y'\cdot y'+e^y\cdot y''+y'+y'+xy''-2=0
\]

即

\[
e^y\bigl((y')^2+y''\bigr)+2y'+xy''=2
\]

令 $x=0$, 注意到 $y(0)=0$, $y'(0)=0$, 代入得 $y''(0)=2$. 因此

\[
y(x)=y(0)+\frac{y'(0)}{1!}x^1+\frac{y''(0)}{2!}x^2+o(x^2).
\]

若 $y(x)$ 与 $x^k$ 在 $x\rightarrow 0$ 时为同阶无穷小, 则 $k=2$.