问题及解答

 求正交变换 $X=QY$, 将二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=2x_1 x_2+2x_1 x_3+2x_2 x_3$ 化为标准型.

解.  由题, $f(x)=x^T Ax$, 这里 $x\in\mathbb{R}^3$, 矩阵 $A$ 等于

\[
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1\\
1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\]

首先求出矩阵 $A$ 的特征值,

\[
\begin{split}
|\lambda E-A|&=\begin{vmatrix}
\lambda & -1 & -1\\
-1 & \lambda & -1\\
-1 & -1 & \lambda
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
\lambda-2 & \lambda-2 & \lambda-2\\
-1 & \lambda & -1\\
-1 & -1 & \lambda
\end{vmatrix}\\
&=(\lambda-2)\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1\\
-1 & \lambda & -1\\
-1 & -1 & \lambda
\end{vmatrix}=(\lambda-2)\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0\\
-1 & \lambda+1 & 0\\
-1 & 0 & \lambda+1
\end{vmatrix}\\
&=(\lambda-2)(\lambda+1)^2
\end{split}
\]

因此, $A$ 的特征值为 $\lambda_1=2$, $\lambda_2=\lambda_3=-1$.

将 $\lambda_2=\lambda_3=-1$ 代入 $\lambda E-A=0$, 得

\[
-E-A=\begin{pmatrix}
-1 & -1 & -1\\
-1 & -1 & -1\\
-1 & -1 & -1
\end{pmatrix}\xlongequal{\text{初等变换}}
\begin{pmatrix}
-1 & -1 & -1\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]

得解 $x_1=-x_2-x_3$, 基础解系为 $(1,0)^T$ 和 $(0,1)^T$.

分别令 $\begin{pmatrix}x_2\\ x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix}$, 得到特征向量

\[
\vec{\alpha}_2=\begin{pmatrix}
-1\\ 1\\ 0\end{pmatrix},\quad
\vec{\alpha}_3=\begin{pmatrix}
-1\\ 0\\ 1\end{pmatrix}.
\]

类似的, 将 $\lambda_1=2$ 代入 $\lambda E-A=0$, 得

\[
2E-A=\begin{pmatrix}
2 & -1 & -1\\
-1 & 2 & -1\\
-1 & -1 & 2
\end{pmatrix}
\]

求出特征向量 $\vec{\alpha}_1=\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}$.

正交化后, 得正交矩阵

\[
Q=\begin{pmatrix}
-\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}}\\
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}}\\
0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}}\\
\end{pmatrix}
\]

\[
f=-y_1^2-y_2^2+2y_3^2
\]

Remark:  来自方守文讲课比赛的笔记.