问题及解答

不定方程 $x^4+75y^4=z^2$ 中若设 $y\neq 0$, 则无正整数解.

若设 $(x,y)=1$, 则可推出 $(x,z)=1$.

设 $d=(x,z)$. 记 $x=dk$, $z=dh$, 这里 $d$ 为奇数.

代入方程, 得 

\[
\begin{split}
&(dk)^4+75y^4=(dh)^2\\
\Rightarrow\ &3\cdot 5^2 y^4=d^2(h^2-d^2k^4)\\
\Rightarrow\ &3\cdot 5^2 y^4=d^2(h+dk^2)(h-dk^2).\qquad (1)
\end{split}
\]

Claim 1. $3\not| d$.

Pf. 若 $3|d$, 则推出 $3|y^4$, 于是 $3|y$, 这与 $(x,y)=1$ 矛盾.

Claim 2.  $d\neq 5t$, 其中 $t > 1$.

Pf. 若 $d=5t$, ($t > 1$), 代入 (1) 式, 得

\[
3y^4=t^2(h+dk^2)(h-dk^2).
\]

由于 $3\not| t$, 故 $t^2|y^4$, 从而 $t|y^2$.

\[
(x,y)=(dk,y)=(5tk, y)\geqslant(t,y) > 1.
\]

与 $(x,y)=1$ 矛盾.

Claim 3.  $d\neq 5$.

Claim 3 成立, 意味着 $5\not | d$.  由 (1)  $d^2|y^4$ 推出 $d|y^2$. 故

\[
(x,y)=(dk,y)\geqslant(d,y) > 1,
\]

矛盾.

Proof of Claim 3.

若 $d=5$, 则 (1) 变为

\[
3y^4=(h+5k^2)(h-5k^2)\qquad (2)
\]

\[
3y^4=h^2-25k^4\quad\Rightarrow\quad 3y^4+25k^4=h^2.
\]

注意到 $y,k$ 为奇数, $h$ 为偶数. 设 $y=2m+1$, $k=2n+1$, $h=2s$. 则有

\[
\begin{split}
&3(2m+1)^4+25(2n+1)^4=4s^2\\
\Rightarrow\ &3(4m^2+4m+1)^2+25(4n^2+4n+1)^2=4s^2
\end{split}
\]

注意到

\[
(4m^2+4m+1)^2=16m^4+16m^2+1+32m^3+8m^2+8m\equiv 1\pmod{16}
\]

因此,

\[
4s^2\equiv 3+25\equiv 12\pmod{16}
\]

当 $s=2t$ 时, $4s^2\equiv 0\pmod{16}$, 当 $s=2t+1$ 时, $4s^2=4(2t+1)^2\equiv 4\pmod{16}$, 矛盾.

故 $d\neq 5$.