问题及解答

级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{\sin n}{n}$ 是否收敛?

一般的, 对于交错级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n$, 若 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}u_n=0$ 但 $u_n$ 并非递减, 能否举出收敛与不收敛的具体例子? 

注意 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{n}$ 收敛.  特别地, 当 $x=1$ 时, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{n}$ 收敛.