P. 299--300 习题 7.2
1. 判别下列级数的收敛性.
(5) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\ln n}{n^2}$
3. 判别下列级数的收敛性.
(3) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^n\cdot n!}{n^n}$
4. 判别下列级数的收敛性.
(4) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{[\ln(n+1)]^n}$
6. 判定下列级数是否收敛? 如果收敛, 是条件收敛还是绝对收敛?
(4) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sin na}{\sqrt{n^3}}$
1
1. (5) （法一）
\[
\frac{\ln n}{n^2}=\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\cdot\frac{\ln n}{n^{\frac{1}{2}}}
\]
当 $n > 4$ 时, 有 $\ln n < \sqrt{n}$ (作为习题), 因此, 当 $n > 4$ 时,
\[
0< \frac{\ln n}{n^2} < \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}
\]
而强级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{\frac{3}{2}}}$ 收敛, 故弱级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^2}$ 收敛.
(法二)
考虑前 $N$ 项和
\[
S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{\ln n}{n^2}=\frac{\ln 2}{2^2}+\frac{\ln 3}{3^2}+\frac{\ln 4}{4^2}+\cdots+\frac{\ln N}{N^2}
\]
注意到对于 $n > 1$, 有
\[\dfrac{\ln n}{n^2} < \frac{\ln n}{n(n-1)}=\frac{\ln n}{n-1}-\frac{\ln n}{n}\]
因此,
\[
\begin{split}
S_N&=\sum_{n=2}^{N}\frac{\ln n}{n^2}\\
& < \sum_{n=2}^{N}(\frac{\ln n}{n-1}-\frac{\ln n}{n})\\
&=(\frac{\ln 2}{1}-\frac{\ln 2}{2})+(\frac{\ln 3}{2}-\frac{\ln 3}{3})+(\frac{\ln 4}{3}-\frac{\ln 4}{4})+\cdots+(\frac{\ln(N-1)}{N-2}-\frac{\ln(N-1)}{N-1})+(\frac{\ln N}{N-1}-\frac{\ln N}{N})\\
&=\frac{\ln 2}{1}+\frac{1}{2}(\ln 3-\ln 2)+\frac{1}{3}(\ln 4-\ln 3)+\cdots+\frac{1}{N-1}(\ln N-\ln(N-1))-\frac{\ln N}{N}\\
& < \ln 2+\sum_{n=2}^{N-1}\frac{\ln(n+1)-\ln n}{n}\\
&=\ln 2+\sum_{n=2}^{N-1}\frac{1}{n}\ln(1+\frac{1}{n})
\end{split}
\]
而级数 $\sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n}\ln(1+\frac{1}{n})$ 是收敛的, 因为
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{n}\ln(1+\frac{1}{n})}{\frac{1}{n^2}}=1.
\]
因此, 原级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\ln n}{n^2}$ 收敛.
2
3. (3)
\[
\begin{split}
\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}&=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{2^{n+1}\cdot(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{2^n\cdot n!}{n^n}}\\
&=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{2^{n+1}\cdot(n+1)!}{2^n\cdot n!}\cdot\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}\\
&=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}2(n+1)\cdot\frac{n^n}{(n+1)\cdot(n+1)^n}\\
&=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{2}{(\frac{n+1}{n})^n}\\
&=\frac{2}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n}\\
&=\frac{2}{e} < 1,
\end{split}
\]
故原级数收敛.
3
4. (4) 利用根植判别法.
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{[\ln(n+1)]^n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\ln(n+1)}=0 < 1,
\]
因此, 原级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{[\ln(n+1)]^n}$ 收敛.
4
6. (4)
由于
\[
0\leqslant\biggl|\frac{\sin(na)}{\sqrt{n^3}}\biggr|\leqslant\frac{1}{n^{3/2}},
\]
而级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{3/2}}$ 收敛, 故原级数绝对收敛.