问题及解答

P.145  习题 3.6

3.  作出下列函数的图形.

(4)    $y=e^{-\frac{(x-1)^2}{2}}$

[Hint] 我们只需研究函数 $f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}$, 所要讨论函数是由 $f(x)$ 向右平移 1 个单位得到的.

下面我只讨论函数 $f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}$.

函数的基本信息

其定义域为 $x\in\mathbb{R}$, 并且具有对称性, 关于 $y$ 轴对称. 因此, 只需讨论 $[0,+\infty)$ 上的情况. 

该函数在整个 $\mathbb{R}$ 上可导, 事实上是无穷次可导的, 即光滑的.

单调区间, 导数不存在的点及驻点

\[
y'=e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot(-x)=-xe^{-\frac{x^2}{2}}.
\]

因此 $y' > 0 \Leftrightarrow\ x < 0$. 具体的,

\[
y'
\begin{cases}
> 0, & x < 0,\\
=0, & x=0,\\
< 0, & x > 0.
\end{cases}
\]

也就是说 $y(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上是严格单调递减的, 并且有唯一驻点 $x=0$. 此为极大值点, 由于是唯一的极大值点, 故也是最大值点, 最大值为 $y(0)=1$.

凹凸区间及拐点

\[
y''=(-xe^{-\frac{x^2}{2}})'=-1\cdot e^{-\frac{x^2}{2}}+(-x)\cdot e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot(-x)=e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot(x^2-1)
\]

于是, $y'' > 0\ \Leftrightarrow\ x^2-1 > 0$. 具体的,

\[
y''
\begin{cases}
> 0, & x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty),\\
=0, & x=\pm 1,\\
< 0, & x\in(-1,1).
\end{cases}
\]

故函数 $f(x)$ 的凹区间为 $(-1,1)$;
凸区间为 $(-\infty,-1)$, $(1,+\infty)$;
拐点为 $x=\pm 1$, 坐标为 $(-1, e^{-\frac{1}{2}})$, $(1, e^{-\frac{1}{2}})$.

渐近线

\[
\lim_{x\rightarrow\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}=0,
\]

因此, 函数 $y(x)$ 有水平渐近线 $y=0$. 无竖直渐近线, 也无（斜率不为0的）斜渐近线.

作图

略.