设函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 上连续, 且有唯一的极值点. 证明此极值点就是最值点.
Remark:
(1) 将区间改为 $[a,b]$ 或半开半闭区间, 命题也成立.
(2) 连续性的条件不能少. 反例如下:
\[
f(x)=\begin{cases}
|x|, & x\in(-1,0)\cup(0,1)\\
\frac{1}{2}, & x=0
\end{cases}
\]
此 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 上无最大值也无最小值, 但有一个极值点 $x=0$.
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证明: 不妨假设 $c\in(a,b)$ 是连续函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上的唯一极值点, 且是极大值点. 我们证明 $x=c$ 也是最大值点.
若 $x=c$ 不是最大值点, (注意此时我们并不能断定函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上一定有最值. ) 则存在 $x=x_0\in(a,b)$, 不妨假设 $x_0 < c$, 使得 $f(x_0) > f(c)$.
由于 $x=c$ 是极大值点, 故存在 $\delta\in(0,c-x_0)$, 使得对于 $\forall\ x\in(c-\delta,c)$, 都有 $f(x) < f(c)$. (注意是严格小于号, 因为 $x=c$ 是唯一的极大值点.)
又 $f(x)$ 在 $[x_0,c]$ 是连续的, $f(x)$ 在 $[x_0,c]$ 上存在最小值, 其显然要小于 $f(c)$. 这与 $x=c$ 是 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上唯一极值点矛盾.
故 $x=c$ 也是最大值点.