证明: 当 $x\in[0,\frac{\pi}{2}]$ 时, 有 $\frac{2}{\pi}\leqslant\frac{\sin x}{x}$.
[Hint] 考虑 $\varphi(x)=\begin{cases}\frac{\sin x}{x}, & x\in(0,\frac{\pi}{2}],\\ 1, & x=0\end{cases}$.
由于 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$, 故 $\varphi(x)$ 在 $[0,\frac{\pi}{2}]$ 上连续.
1
$\varphi(x)$ 如上所设. 则 $\vapphi(x)$ 在 $x=0$ 处右导数存在.
\[
\begin{split}
\varphi'_+(0)&=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x-0}\\
&=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\frac{\sin x}{x}-1}{x}\\
&=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\sin x-x}{x^2}\\
&=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\cos x-1}{2x}\\
&=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{-\sin x}{2}\\
&=0.
\end{split}
\]
因此, $\varphi(x)$ 在 $[0,\frac{\pi}{2}]$ 上可导.
当 $x > 0$ 时,
\[
\varphi'(x)=(\frac{\sin x}{x})'=\frac{\cos x\cdot x-\sin x\cdot 1}{x^2}
\]
注意到对于 $x\in(0,\frac{\pi}{2})$, 有 $\cos x < \frac{\sin x}{x}$. 因此 $\varphi'(x) < 0$, 对所有 $x\in(0,\frac{\pi}{2})$. $\varphi'(\frac{\pi}{2})=-(\frac{2}{\pi})^2$.
而
\[\varphi(\frac{\pi}{2})=\frac{\sin\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}=\frac{2}{\pi}\]
因此, 由 Lagrange 微分中值定理, 对于 $0 < x <\frac{\pi}{2}$, 存在 $\xi\in(x,\frac{\pi}{2})$, 使得
\[
\varphi(\frac{\pi}{2})-\varphi(x)=\varphi'(\xi)(\frac{\pi}{2}-x) < 0
\]
即 $\varphi(x) > \varphi(\frac{\pi}{2})=\frac{2}{\pi}$.