设 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=A$, $k$ 为正整数, 则
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{k+1}}(a_1+2^k a_2+\cdots+n^k a_n)=\frac{A}{k+1}.
\]
[Hint]
利用 Stolz 公式, 以及问题2595 .
References:
梅加强, 《数学分析》习题
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令 $x_n=a_1+2^k a_2+3^k a_3+\cdots+n^k a_n$, $y_n=n^{k+1}$. 则 $\{y_n\}$ 单调递增趋于 $+\infty$.
$x_n-x_{n-1}=n^k a_n$. 从而
由 Stolz 公式
\[
\begin{split}
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x_n}{y_n}&=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^k a_n}{n^{k+1}\ -(n-1)^{k+1}}\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{\frac{n^{k+1}\ \ \ -(n-1)^{k+1}}{n^k}}\\
&=\frac{A}{k+1}
\end{split}
\]
这里最后一个等号可参见问题2595