问题及解答

求函数 $y=\arctan\frac{x+1}{x-1}$ 的高阶导数.

Note:  注意 $\arctan\frac{x+1}{x-1}=-\arctan\frac{x+1}{1-x}$, 所以只要求 $\arctan\frac{1+x}{1-x}$ 的高阶导数.

详见问题2409 .

\[
\begin{split}
y'&=\frac{1}{1+(\frac{x+1}{x-1})^2}\cdot(\frac{x+1}{x-1})'\\
&=\frac{(x-1)^2}{(x-1)^2+(x+1)^2}\cdot\frac{1\cdot(x-1)-(x+1)\cdot 1}{(x-1)^2}\\
&=\frac{-2}{2x^2+2}\\
&=-\frac{1}{1+x^2}\\
&=-(\arctan x)'
\end{split}
\]