问题及解答

P. 37

1. 求下列极限

(4)  $\lim\limits_{x\rightarrow 4}\dfrac{x^2-6x+8}{x^2-3x-4}$

(6)  $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\Bigl(\dfrac{4}{x^2-4}-\dfrac{1}{x-2}\Bigr)$

(8)  $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{(n+2)(2n+3)(3n+4)}{n^3}$

(11)  $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x+\sin x}{x-\sin x}$

4. 设 $f(x)=\dfrac{4x^2+3}{x-1}+ax+b$, 若已知:

(1) $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}f(x)=0$;     (2)  $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}f(x)=2$;       (3)  $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty$,

试分别求这三种情形下常数 $a$ 与 $b$ 的值.

5. 已知 $\lim\limits_{x\rightarrow 3}\dfrac{x^2-2x+k}{x-3}$ 存在且等于 $a$, 求常数 $k$ 与 $a$ 的值.

1.

(4)  $\lim\limits_{x\rightarrow 4}\dfrac{x^2-6x+8}{x^2-3x-4}$

解:

\[
\begin{split}
\text{原式}&=\lim\limits_{x\rightarrow 4}\frac{(x-2)(x-4)}{(x+1)(x-4)}\\
&=\lim\limits_{x\rightarrow 4}\frac{x-2}{x+1}\\
&=\frac{4-2}{4+1}\\
&=\frac{2}{5}
\end{split}
\]

(6)  $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\Bigl(\dfrac{4}{x^2-4}-\dfrac{1}{x-2}\Bigr)$

解:

\[
\begin{split}
\text{原式}&=\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{4-(x+2)}{(x-2)(x+2)}\\
&=\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{2-x}{(x-2)(x+2)}\\
&=\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{-1}{x+2}\\
&=-\frac{1}{4}
\end{split}
\]

(8)  $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{(n+2)(2n+3)(3n+4)}{n^3}$

解:

\[
\text{原式}=\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{2}{n})(2+\frac{3}{n})(3+\frac{4}{n})=1\cdot 2\cdot 3=6
\]

(11)  $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x+\sin x}{x-\sin x}$

解:

\[
\text{原式}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1+\frac{\sin x}{x}}{1-\frac{\sin x}{x}}=\frac{1+\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{\sin x}{x}}{1-\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{\sin x}{x}}=\frac{1+0}{1-0}=1.
\]

4. 

\[
\begin{split}
\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)&=\lim_{x\rightarrow\infty}\Bigl(\frac{4x^2+3}{x-1}+ax+b\Bigr)\\
&=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{4x^2+3+(ax+b)(x-1)}{x-1}\\
&=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{4x^2+3+ax^2+(b-a)x-b}{x-1}\\
&=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{(4+a)x^2+(b-a)x+(3-b)}{x-1}\\
\end{split}
\]

(1) $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}f(x)=0$.

\[
\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{(4+a)x^2+(b-a)x+(3-b)}{x-1}=0
\]

这推出 

\[
\begin{cases}
4+a&=0,\\
b-a&=0
\end{cases}
\]

于是得 $a=-4$,    $b=-4$.

(2) $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}f(x)=2$.

\[
\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{(4+a)x^2+(b-a)x+(3-b)}{x-1}=2
\]

这推出 

\[
\begin{cases}
4+a&=0,\\
b-a&=2
\end{cases}
\]

于是得 $a=-4$,    $b=-2$.

(3) $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty$.

\[
\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{(4+a)x^2+(b-a)x+(3-b)}{x-1}=\infty
\]

这推出 

\[
4+a\neq 0,
\]

于是得 $a\neq -4$,    $b$ 可取任意实数.

5. 解: 

由于极限 $\lim\limits_{x\rightarrow 3}\dfrac{x^2-2x+k}{x-3}$ 存在, 分母 $x-3\rightarrow 0$ (当 $x\rightarrow 3$ 时), 故分子 $x^2-2x+k$ 在 $x\rightarrow 3$ 时也趋于0. 即

\[
0=\lim\limits_{x\rightarrow 3}(x^2-2x+k)=3^2-2\cdot 3+k=3+k
\]

此推出 $k=-3$. 将其值代入原极限, 得

\[
\begin{split}
a&=\lim\limits_{x\rightarrow 3}\dfrac{x^2-2x+k}{x-3}\\
&=\lim\limits_{x\rightarrow 3}\dfrac{x^2-2x-3}{x-3}\\
&=\lim\limits_{x\rightarrow 3}\dfrac{(x-3)(x+1)}{x-3}\\
&=\lim\limits_{x\rightarrow 3}(x+1)\\
&=4
\end{split}
\]

故所求常数 $k$ 和 $a$ 的值分别是 $-3$ 和 $4$.