在求极限题目中, 无穷小在加减法时最好不要代换. 但有时也可以.
Prop. 设有两对等价无穷小 $\alpha(x)\sim\alpha_1(x)$, $\beta(x)\sim\beta_1(x)$, 这里 $x\rightarrow x_0$. 并且 $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 不是等价无穷小. 则有
\[
\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{\alpha(x)-\beta(x)}{\gamma(x)}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{\alpha_1(x)-\beta_1(x)}{\gamma(x)}
\]
也就是说, 此时无穷小代换是可以的.
1
我们只需证明
\[\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{\alpha(x)-\beta(x)}{\alpha_1(x)-\beta_1(x)}=1\]
即 $\alpha(x)-\beta(x)\ \sim\ \alpha_1(x)-\beta_1(x)$, 当 $x\rightarrow x_0$ 时.
为简洁起见, 下面记 $\alpha=\alpha(x)$, $\beta=\beta(x)$, $\alpha_1=\alpha_1(x)$, $\beta_1=\beta_1(x)$.
\[
\begin{split}
\alpha-\beta&=\alpha_1-\beta_1+o(\alpha_1-\beta_1)\\
\Rightarrow\ \alpha-\alpha_1&=\beta-\beta_1+o(\alpha_1-\beta_1)\\
\end{split}
\]
注意到 $\alpha\sim\alpha_1$, $\beta\sim\beta_1$, 因此 $\alpha=\alpha_1+o(\alpha_1)$, $\beta=\beta_1+o(\beta_1)$.
于是上面等价于
\[
o(\alpha_1)=o(\beta_1)+o(\alpha_1-\beta_1)
\]
由条件 $\alpha$ 与 $\beta$ 不是等价无穷小, 故 $\alpha_1$ 与 $\beta_1$ 也不是等价无穷小. 因此
\[
o(\alpha_1)-o(\beta_1)=o(\alpha_1-\beta_1)
\]
证毕.