问题及解答

Let $X$ denote the amount of time for which a book on $2$-hour reserve at a college library is checked out by a randomly selected student and suppose that $X$ has density function
\[
f(x)=\begin{cases}
       .5x, & 0\leqslant x\leqslant 2, \\
       0, & \mbox{otherwise}.
     \end{cases}
\]
Calculate the following probabilities:

• (a) $P(X\leqslant 1)$
• (b) $P(.5\leqslant X\leqslant 1.5)$
• (c) $P(1.5 < X )$ 

[正體中文]

令 $X$ 表示由隨機選擇的學生簽出大學圖書館 $2$-小時儲備的書籍的時間量, 並假設 $X$ 具有密度函數

\[
f(x)=\begin{cases}
       .5x, & 0\leqslant x\leqslant 2, \\
       0, & \mbox{其他}.
     \end{cases}
\]
計算以下概率:

• (a) $P(X\leqslant 1)$
• (b) $P(.5\leqslant X\leqslant 1.5)$
• (c) $P(1.5 < X )$ 

 [Français]

Laissez $X$ indiquer le temps pour lequel un livre sur une réserve de $2$ heures dans une bibliothèque collégiale est vérifié par un étudiant choisi au hasard et supposons que $X$ a la fonction de densité

\[
f(x)=\begin{cases}
       .5x, & 0\leqslant x\leqslant 2, \\
       0, & \mbox{sinon}.
     \end{cases}
\]
Calculer les probabilités suivantes :

• (a) $P(X\leqslant 1)$
• (b) $P(.5\leqslant X\leqslant 1.5)$
• (c) $P(1.5 < X )$ 

(a)

\[
P(X\leqslant 1)=\int_0^1 f(x)dx=\int_0^1 \frac{1}{2}xdx=\frac{1}{4}x^2\biggr|_0^1=\frac{1}{4}=0.25.
\]

(b)

\[
\begin{split}
P(.5\leqslant X\leqslant 1.5)&=\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}f(x)dx=\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}\frac{1}{2}xdx\\
&=\frac{1}{4}x^2\biggr|_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}=\frac{1}{4}\Bigl[(\frac{3}{2})^2-(\frac{1}{2})^2\Bigr]\\
&=\frac{1}{2}=0.5
\end{split}
\]

(c)

\[
P(1.5 < X)=\int_{\frac{3}{2}}^{2}f(x)dx=\int_{\frac{3}{2}}^{2}\frac{1}{2}xdx=\frac{1}{4}x^2\biggr|_{\frac{3}{2}}^{2}=\frac{7}{16}=0.4375.
\]