求幂级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{[3+(-1)^n]^n}{n}x^n$ 的收敛域.
注意: 这里使用比值、根值去算收敛半径行不通, 因为此例中 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr|$ 与 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$ 不存在.
1
令 $y=(3+(-1)^n)x$, 则原级数写为 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}y^n$. 此级数的收敛半径为
\[
R=\lim_{n\rightarrow\infty}\biggl|\frac{a_n}{a_{n+1}}\biggr|=\lim_{n\rightarrow\infty}\biggl|\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n+1}}\biggr|=1.
\]
当 $y=-1$ 时, 级数收敛, 当 $y=1$ 时, 级数发散. 故级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}y^n$ 的收敛域为 $[-1,1)$.
因此原级数 $x$ 的范围应满足
\[
-1\leqslant (3+(-1)^n)x < 1
\]
这等价于
\[
\begin{cases}
-1\leqslant 2x < 1,\\
-1\leqslant 4x < 1.
\end{cases}
\]
这推出 $-\frac{1}{4}\leqslant x < 1$. 故原级数的收敛域为 $[\frac{1}{4},\frac{1}{4})$.
2
(法二) 将原级数分为奇数次部分和偶数次部分, 即写为
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\bigl(3+(-1)^{2k}\bigr)^{2k}}{2k}x^{2k}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\bigl(3+(-1)^{2k-1}\bigr)^{2k-1}}{2k-1}x^{2k-1}
\]
然后对两个级数分别讨论其收敛域, 取公共部分.