问题及解答

用三种方法求 $y=a^x$ 的导数

1. 用导数的定义

2. 利用等价无穷小

\[
\begin{split}
y'_x&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=a^x\lim_{h\rightarrow 0}\frac{a^{h}-1}{h}\\
&=a^x\lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^{h\ln a}-1}{h}=a^x\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h\ln a}{h}=a^x\ln a.
\end{split}
\]

3. 利用复合函数的求导规则

\[
y'_x=(a^x)'=(e^{x\ln a})'=e^{x\ln a}\cdot(x\ln a)'=a^x\ln a.
\]