证明不等式 $x\cdot 2^{1+\frac{1}{x}}\geqslant(x+1)^{1+\frac{1}{x}}$, 这里 $x\in(0,1]$.
证明不等式
\[x\cdot 2^{1+\frac{1}{x}}\geqslant(x+1)^{1+\frac{1}{x}},\]
这里 $x\in(0,1]$.
证明不等式
\[x\cdot 2^{1+\frac{1}{x}}\geqslant(x+1)^{1+\frac{1}{x}},\]
这里 $x\in(0,1]$.
1
Pf. 等价于证明
\[
x\geqslant\Bigl(\frac{x+1}{2}\Bigr)^{1+\frac{1}{x}}
\]
两边取 $\ln$ , 得
\[
\ln x\geqslant(1+\frac{1}{x})\ln\frac{x+1}{2}.
\]
令 $\varphi(x)=\ln x-(1+\frac{1}{x})\ln\frac{x+1}{2}$.
\[
\begin{split}
\varphi'(x)&=\frac{1}{x}-\biggl[-\frac{1}{x^2}\ln\frac{x+1}{2}+(1+\frac{1}{x})\frac{1}{x+1}\biggr]\\
&=\frac{1}{x}-\biggl[-\frac{1}{x^2}\ln\frac{x+1}{2}+\frac{1}{x}\biggr]\\
&=\frac{1}{x^2}\ln\frac{x+1}{2},
\end{split}
\]
由于 $x\in(0,1]$, 故 $\varphi'(x)\leqslant 0$. 而 $\varphi(1)=0$, 因此 $\varphi(x)\geqslant 0$.