问题及解答

钢管下料问题

某钢管零售商从钢管厂进货, 将钢管按照顾客的要求切割出售.

从钢管厂进货得到的原材料钢管的长度都是 1850mm.

现在一顾客需要15根 290mm、 28根315mm、21根 350mm、 30根455mm 的钢管.

为了简化生产过程, 规定所使用的切割模式的种类不能超过 4 种, 使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的 $\frac{1}{10}$ 增加费用, 使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的 $\frac{2}{10}$ 增加费用, 以此类推, 且每种切割模式下的切割次数不能太多(一根原料钢管最多生产 5 根产品). 此外, 为了减少余料浪费, 每种切割模式下的余料浪费不能超过 100mm.

为了使总费用最小, 应该如何下料?

【分析】

为了更好地理解问题, 将一些数据组织成表格的形式.

Remark:

这里的切割模式是指将单根标准钢管(即钢厂生产出的钢管)按照某种长度组合切割的方式. 比如

\[
[290,290,290,290,290,290,110]
\]

就是一种切割模式, 这里不管其排列顺序, 也就是说 $[290,110,290,290,290,290,290]$ 和刚才的 $[290,290,290,290,290,290,110]$ 属于同一种切割模式

Step 1. 确定决策变量

设第 $i$ 种切割模式所使用的原料钢管为 $x_i$ 根. 根据题设, $i=1,2,3,4$.

不妨假设 $x_1\geqslant x_2\geqslant x_3\geqslant x_4$.

假设 $r_{ji}$ 为第 $i$ 种切割模式下生产型号为 $j$ 的小钢管数量. 这里 $j=1,2,3,4$ 分别对应产品型号 $A,B,C,D$.

Step 2. 符号说明

记 $d_j$ 为第 $j$ 种型号小钢管的长度.

记 $y_j$ 为客户对第 $j$ 种型号小钢管的需求量.

这里 $j=1,2,3,4$.

Step 3. 建立模型

写出目标函数

目标是使得总费用最小. 费用包含两个方面, 一是原料钢管的购置费用, 二是对于各切割模式要求增加的额外费用.

这里假设每根钢管价格为 1(单位: 比如 千元, 或者其他, 在这里并不重要).

于是钢管的购置费用为 $\sum_{i=1}^{4}x_i$.

根据题设, 对于第一种模式（使用频率最高）, 需要增加的额外费用为 $x_1\cdot\frac{1}{10}$.

类似的, 对于第二种模式（使用频率次之）, 需要增加的额外费用为 $x_2\cdot\frac{2}{10}$.

对于第三种模式, 需要增加的额外费用为 $x_3\cdot\frac{3}{10}$.

对于第四种模式, 需要增加的额外费用为 $x_4\cdot\frac{4}{10}$.

因此, 目标函数为

\[
\min Z=\sum_{i=1}^{4}x_i\cdot(1+\frac{i}{10}).
\]

 写出约束条件

（1）客户需求约束

\[

\]

Step 3. 写出 Lingo 代码