问题及解答

设 $a,b,c$ 是三个素数, 求方程 $a(a+b)=12768+c$ 的所有解.

Remark:

题目来源: QQ群: 编程&数论&椭圆曲线

若 $a=2, b>2$   或 $a>2, b>2$    或 $a=2, b=2$ 时,
$a(a+b)$ 为偶数, 推出 $c=2$, 此时只有一个解.

\[5*(5+2549)==12768+2\]
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若 $a>2, b=2$ 时, 即找素数 $a, c$, 满足方程

\[a(a+2)=12768+c\tag{*}\]

易见 $a\geqslant 113$,  因为 $112*(112+2)=12768$.

当 $a=113$ 时, 有解

\[113*(113+2)==12768+227\]

事实上,

\[
\begin{split}
&a(a+2)=112^2+2*112+c\\
\Rightarrow\ &a^2-112^2+2(a-112)=c\\
\Rightarrow\ &(a-112)(a+114)=c\\
\end{split}
\]