问题及解答

在银行贷款有两种还款方式：【等额本息】和【等额本金】

引入以下记号：

$A$: 贷款本金

$x$: 每月还款金额（简称【每月本息】）

$R$: 年利率

$r$: 月利率（为年利率的$1/12$, 即 $R=12r$.）

$N$: 还款月数

于是等额本息的每月还贷金额计算公式为

\[
x=A\times\frac{r(1+r)^N}{(1+r)^N-1}
\]

下面我们来推导这个公式.

假设 $Q_1$ 为还掉第一期贷款（即第一个月的本息）后所欠金额总数。

$Q_i$ 为第 $i$ 期还款后的欠款总金额。$n$ 为当前还款的期数. $n=1,2,\ldots,N$.

则，$n=1$, （指还完第一期贷款）

\[
Q_1=A(1+r)-x
\]

$n=2$, （指还完第二期贷款）

\[
\begin{split}
Q_2&=Q_1(1+r)-x\\
&=[A(1+r)-x](1+r)-x\\
&=A(1+r)^2-[1+(1+r)]x
\end{split}
\]

$n=3$, （指还完第三期贷款）

\[
\begin{split}
Q_3&=Q_2(1+r)-x\\
&=\bigl[A(1+r)^2-[1+(1+r)]x\bigr](1+r)-x\\
&=A(1+r)^3-[1+(1+r)+(1+r)^2]x
\end{split}
\]

归纳假设

$n=k$, （指还完第 $k$ 期贷款）

\[
Q_k=A(1+r)^k-[1+(1+r)+(1+r)^2+\cdots+(1+r)^{k-1}]x\tag{*},
\]

则当 $n=k+1$, （指还完第 $k+1$ 期贷款）

\[
\begin{split}
Q_{k+1}&=Q_k(1+r)-x\\
&=\bigl[A(1+r)^k-[1+(1+r)+(1+r)^2+\cdots+(1+r)^{k-1}]x\bigr](1+r)-x\\
&=A(1+r)^{k+1}-[(1+r)+(1+r)^2+\cdots+(1+r)^k]x-x\\
&=A(1+r)^{k+1}-[1+(1+r)+(1+r)^2+\cdots+(1+r)^k]x.\\
\end{split}
\]

因此 (*) 对任何 $k=1,2,\ldots,N$ 都成立. 进一步可以化简

\[
\begin{split}
Q_k&=A(1+r)^k-[1+(1+r)+(1+r)^2+\cdots+(1+r)^{k-1}]x\\
&=A(1+r)^k-\frac{1-(1+r)^k}{1-(1+r)}\cdot x\\
&=A(1+r)^k-\frac{(1+r)^k-1}{r}\cdot x
\end{split}
\]

当 $k=N$ 时, $Q_N=0$. 于是有

\[
A(1+r)^N=x\cdot\frac{(1+r)^N-1}{r}
\]

这推出

\[
x=\frac{Ar(1+r)^N}{(1+r)^N-1}.
\]